TEOREMA DE TRANSPORTE DE REYNOLDS E A REGRA DE LEIBNIZ PARA VOLUME DE CONTROLE DEFORMÁVEL

EXPERIMENTO DE VOLUME DE CONTROLE DEFORMÁVEL UTILIZANDO O TEOREMA DE TRANSPORTE DE REYNOLDS E A REGRA DE LEIBNIZ

OBJETIVO
Realizar um experimento com V.C. deformável, desenvolver as equações de transporte analiticamente e comparar com os resultados experimentais.

TEORIA
TEOREMA DE TRANSPORTE DE REYNOLDS
Relação fundamental entre a taxa de variação de qualquer propriedade extensiva arbitrária, N, de um sistema e as variações dessa propriedade associadas com um volume de controle.

(1)

REGRA DE LEIBNIZ PARA VOLUME DE CONTROLE DEFORMÁVEL
Se a fronteira é deformável, a diferenciação com relação ao tempo da integral de volume pode ser decomposta utilizando-se o Teorema de Leibniz.

(2)

METODOLOGIA
Exemplo 4 da apostila de Mecânica dos Fluidos (SEM 5749).
Calcule a vazão mássica de água deixando o recipiente cilíndrico, mostrado na figura 1, em função de dh e d.

OBS. Neste exemplo será calculada a vazão volumétrica, a vazão mássica é apenas o produto da vazão volumétrica pela densidade do fluido.

FIGURA 1 – Descrição do problema e do volume de controle escolhido

PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
Na parte inferior (plana), foi fixado um tubo de acrílico com diâmetro de 3,9 mm, no centro do raio, para descarga de água. Na parte plana inferior, tangenciando o fundo (na lateral da proveta) instalou-se uma tomada de pressão total e utilizando-se um micro-manômetro com resolução de 1 Pascal, estabeleceu-se a altura da coluna de fluido e posteriormente para que se pudesse estabelecer o final do escoamento do fluido, quando a pressão for zero. Figura 2.
Utilizando um recipiente com capacidade de 0,5 litro (0,0005 m3), com 46,38 mm de diâmetro interno, fizeram-se marcas ao longo da altura h, variando de 0,5 litro até zero no fundo do reservatório, com espaçamento de 50 ml em 50 ml, correspondente à 0,0296 m cada intervalo. Estabelecendo assim 11 pontos de referência, de 0,0005 m3 até zero. Figura 3. Em cada ponto foi instalado um led, cujo pólo negativo de cada um ficou em contato com o fluido e o positivo foi ligado em paralelo. Com uma fonte de 12 Volts e 1 A/h, conectou-se os pólos positivos do led à fonte e o negativo ao fluido.

Figura 2 – Montagem experimental

Utilizou-se um cronômetro centesimal para medida do tempo de escoamento parcial e total da água, para que se obtivesse a vazão em função do tempo. Na água adicionou-se 200 gramas de sal para que a água ser tornasse um eletrólito e pudesse conduzir eletricidade. Assim, quando a linha da água passa pelo led, este diminui a intensidade, permitindo assim marcar o tempo do ponto com maior precisão. Os leds, mesmo após a passagem da água continuam acesos, por conta da parede da proveta ainda continuar molhada e conduzindo eletricidade. Mas ao passar a linha de água é sensível a diminuição da intensidade luminosa do led.
As medidas do reservatório foram realizadas com um paquímetro centesimal.

Características do ensaio:
Pressão atmosférica: 91.800 Pa.
Temperatura ambiente: 20º C.
Temperatura da água. 19º C.
Umidade relativa: 72%
Densidade gravimétrica da água: 1090 kg/m3.
Aceleração da gravidade adotada: 9,8 m/s2.
Resistência elétrica do fluido: 1,5 kΩ

Utilizando uma câmera digital filmou-se o experimento com um cronômetro centesimal ligado, ao lado do reservatório. Partindo de 0,5 litros. Nos pontos marcados no reservatório parou-se o filme observando a coincidência entre a linha da água e o led fixado no ponto, exatamente quando este diminui a sua intensidade luminosa, anotando-se o tempo.

Figura 3 – Dimensões do reservatório.

RESULTADOS
Com os dados observados obteve-se a tabela 1.




A altura manométrica, obtida com a pressão do manômetro não coincide com a altura relativa aos pontos devido ao tempo de resposta do manômetro. Neste caso a pressão obtida com o manômetro teve o único propósito de estabelecer o final do escoamento de água quando a pressão indicada era zero, obtendo assim o tempo total da vazão do fluido.
Com a tabela 1, plotou-se o gráfico da variação da altura da linha da água em função do tempo. Figura 4.

Figura 4 – Função da vazão em relação ao tempo decorrido

Com o gráfico da figura 3, determinou-se uma linha de tendência utilizando o software Excel. A curva ajustada é um polinômio de 2º grau.

(3)

A equação 3 é a linha de tendência que acompanha a vazão em função do tempo decorrido. Derivando-se esta expressão, tem-se a função de h no tempo. Onde y é a altura h do reservatório e x é o tempo.

(4)

SOLUÇÃO ANALÍTICA
Adotando hipóteses simplificadoras:
A densidade não varia ao longo do volume de controle. ρ = CTE
Escoamento uniforme nas seções 1 e 2 do volume de controle.
Partindo da equação 2, tem-se:

(2)

Assim (2) fica:

(5)

Simplificando (5) pela hipótese (1), tem-se:

(6)


Resolvendo (6)

(7)

A equação (7) determina a vazão mássica. Para a vazão volumétrica a equação (7) fica:

(8)

Atribuindo valores em (8), adotando um tempo arbitrário de 20 segundos (o intervalo da vazão total é entre zero e 32,8 segundos) tem-se:

Q teórico (vazão instantânea) para t = 20,0 s.
Q(20s) = 0,00001338233 m3/s
Q teórico para t = 21,0 s.
Q(21,0s) = 0,00001285716 m3/s

Volume para t = 20,0s (usando a equação 3)

y corresponde à altura h, multiplicando-se pela área tem-se o volume no tempo.
Atribuindo valores em (3)


V(20,0s) = 0,00012723804 m3
Para t = 21,0 s, tem-se o volume:
V(21,0s) = 0,00011411829 m3

Comparação por Diferenças finitas no intervalo entre t = 20,0 s e t = 21,0 s

(9)

Atribuindo valores em (9)

Q(20,0s) = 0,000001311974 m3/s
Comparando com a vazão obtida com a equação (8) para t = 20,0 s, tem-se um erro de 1,96%.
Para (t) correspondente à 0,0005 m3 igual a 32,8 s, tem-se neste tempo a vazão total experimental. Integrando a equação (4) para ttotal = 32,8 s, tem-se:

(10)

(11)



Vi (teórico) = 0,0005009529 m3
Vi (experimental) = 0,0005 m3
Erro de 0,19%

BIBLIOGRAFIA
RODRIGUEZ, O. M. H. Notas de aula, Mecânica dos Fluidos (SEM 5749). Núcleo de Engenharia Térmica e Fluidos. EESC – USP. 2008.

Participaram:
Professor Oscar M. H. Rodriguez
Professor Paulo Celso Greco Júnior
Dawson Tadeu Izola
André Luiz Andrade Simões

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